Irisan dua lingkaran merupakan salah satu topik menarik dalam geometri analitik yang sering diujikan dalam berbagai kompetisi dan ujian di tingkat SMA. Memahami konsep ini tidak hanya mengasah kemampuan visualisasi ruang, tetapi juga melatih kemampuan aljabar dalam menyelesaikan sistem persamaan. Artikel ini akan mengupas tuntas tentang irisan dua lingkaran, mulai dari konsep dasar hingga pembahasan mendalam contoh soal yang sering muncul di kelas 2 SMA, dengan target panjang tulisan mencapai 1.200 kata.

Konsep Dasar Irisan Dua Lingkaran

Secara geometris, irisan dua lingkaran adalah titik-titik persekutuan yang dimiliki oleh kedua lingkaran tersebut. Jumlah titik persekutuan ini bisa bervariasi, bergantung pada posisi relatif kedua lingkaran:

1. Dua Titik Irisan: Jika jarak antara kedua pusat lingkaran lebih kecil dari jumlah jari-jari kedua lingkaran dan lebih besar dari selisih mutlak jari-jari kedua lingkaran. Ini adalah skenario paling umum yang sering kita temui dalam soal.



2. Satu Titik Irisan (Singgung Luar atau Dalam):
   • Singgung Luar: Jarak antara kedua pusat lingkaran sama dengan jumlah jari-jari kedua lingkaran.
   • Singgung Dalam: Jarak antara kedua pusat lingkaran sama dengan selisih mutlak jari-jari kedua lingkaran.
3. Tidak Ada Titik Irisan:
   • Lingkaran saling lepas (jarak antar pusat lebih besar dari jumlah jari-jari).
   • Salah satu lingkaran berada di dalam lingkaran lain tanpa bersentuhan (jarak antar pusat lebih kecil dari selisih mutlak jari-jari).
4. Tak Hingga Titik Irisan (Lingkaran Berimpit): Kedua lingkaran memiliki pusat dan jari-jari yang sama.

Persamaan Umum Lingkaran

Sebelum melangkah ke soal, mari kita ingat kembali bentuk umum persamaan lingkaran:

• Bentuk Standar: $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$
  dengan $(a, b)$ adalah pusat lingkaran dan $r$ adalah jari-jari.

• Bentuk Umum: $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$
  dengan pusat lingkaran adalah $(-fracA2, -fracB2)$ dan jari-jari $r = sqrt(fracA2)^2 + (fracB2)^2 – C$.

Menemukan Titik Irisan Dua Lingkaran: Kunci Utamanya adalah Sistem Persamaan

Titik-titik yang terletak pada kedua lingkaran sekaligus harus memenuhi persamaan dari kedua lingkaran tersebut. Oleh karena itu, menemukan titik irisan dua lingkaran pada dasarnya adalah menyelesaikan sistem persamaan dua lingkaran.

Jika kita memiliki dua persamaan lingkaran:
Lingkaran 1: $L_1 equiv (x-a_1)^2 + (y-b_1)^2 – r_1^2 = 0$
Lingkaran 2: $L_2 equiv (x-a_2)^2 + (y-b_2)^2 – r_2^2 = 0$

Untuk menemukan titik-titik irisannya, kita perlu menyelesaikan sistem persamaan:
$(x-a_1)^2 + (y-b_1)^2 = r_1^2$
$(x-a_2)^2 + (y-b_2)^2 = r_2^2$

Cara paling efektif untuk menyelesaikan sistem ini adalah dengan mengurangi kedua persamaan tersebut. Pengurangan ini akan menghasilkan sebuah persamaan linear yang dikenal sebagai garis hubung dua lingkaran atau sumbu radikal. Persamaan linear ini berisi titik-titik yang memiliki kuasa yang sama terhadap kedua lingkaran. Titik-titik irisan kedua lingkaran pasti terletak pada garis ini.

Langkah-langkah Umum Menyelesaikan Soal Irisan Dua Lingkaran:

1. Tuliskan Persamaan Kedua Lingkaran: Pastikan kedua persamaan dalam bentuk yang mudah diolah, baik bentuk standar maupun bentuk umum.
2. Kurangi Persamaan: Kurangi satu persamaan lingkaran dengan persamaan lingkaran lainnya. Jika kedua persamaan dalam bentuk umum, ini akan sangat mudah. Jika dalam bentuk standar, ekspansi dulu kuadratnya. Hasil pengurangan ini akan menghasilkan persamaan garis lurus (persamaan linear dalam $x$ dan $y$).
3. Substitusikan: Substitusikan salah satu variabel ($x$ atau $y$) dari persamaan garis lurus yang didapat ke dalam salah satu persamaan lingkaran. Ini akan menghasilkan persamaan kuadrat dalam satu variabel.
4. Selesaikan Persamaan Kuadrat: Selesaikan persamaan kuadrat tersebut untuk mencari nilai-nilai dari variabel yang tersisa.
5. Cari Nilai Variabel Lain: Substitusikan kembali nilai-nilai variabel yang sudah ditemukan ke dalam persamaan garis lurus untuk mendapatkan nilai variabel pasangannya.
6. Tuliskan Titik Irisan: Pasangkan nilai-nilai $x$ dan $y$ yang diperoleh untuk membentuk koordinat titik-titik irisan.

Contoh Soal dan Pembahasan Mendalam

Mari kita lihat beberapa contoh soal yang representatif untuk kelas 2 SMA.

Contoh Soal 1: Menemukan Titik Irisan Dua Lingkaran dalam Bentuk Umum

Tentukan titik-titik persekutuan dari lingkaran $L_1: x^2 + y^2 – 2x + 4y – 4 = 0$ dan lingkaran $L_2: x^2 + y^2 + 4x – 6y + 9 = 0$.

Pembahasan:

Langkah 1: Tuliskan Persamaan Kedua Lingkaran
Persamaan sudah diberikan dalam bentuk umum:
$L_1: x^2 + y^2 – 2x + 4y – 4 = 0$
$L_2: x^2 + y^2 + 4x – 6y + 9 = 0$

Langkah 2: Kurangi Persamaan untuk Mendapatkan Persamaan Garis Hubung
Kurangi persamaan $L_2$ dengan $L_1$ (atau sebaliknya, hasilnya akan sama hanya berbeda tanda):
$(x^2 + y^2 + 4x – 6y + 9) – (x^2 + y^2 – 2x + 4y – 4) = 0$
$x^2 + y^2 + 4x – 6y + 9 – x^2 – y^2 + 2x – 4y + 4 = 0$

Sederhanakan persamaan ini:
$(x^2 – x^2) + (y^2 – y^2) + (4x + 2x) + (-6y – 4y) + (9 + 4) = 0$
$0 + 0 + 6x – 10y + 13 = 0$
Persamaan garis hubung adalah: $6x – 10y + 13 = 0$

Langkah 3: Substitusikan Persamaan Garis ke Salah Satu Lingkaran
Dari persamaan garis $6x – 10y + 13 = 0$, kita bisa mengekspresikan salah satu variabel dalam bentuk variabel lain. Mari kita ekspresikan $x$ dalam bentuk $y$:
$6x = 10y – 13$
$x = frac10y – 136$

Sekarang, substitusikan ekspresi $x$ ini ke dalam persamaan $L_1$ (bisa juga ke $L_2$, hasilnya akan sama):
$(frac10y – 136)^2 + y^2 – 2(frac10y – 136) + 4y – 4 = 0$

Untuk mempermudah, kita bisa mengalikan seluruh persamaan dengan $36$ (yaitu $6^2$) untuk menghilangkan penyebut:
$(10y – 13)^2 + 36y^2 – 2 cdot 6 cdot (frac10y – 136) cdot 6 + 36 cdot 4y – 36 cdot 4 = 0$
$(10y – 13)^2 + 36y^2 – 12(10y – 13) + 144y – 144 = 0$

Ekspansi dan sederhanakan:
$(100y^2 – 260y + 169) + 36y^2 – (120y – 156) + 144y – 144 = 0$
$100y^2 – 260y + 169 + 36y^2 – 120y + 156 + 144y – 144 = 0$

Kelompokkan suku-suku yang sejenis:
$(100y^2 + 36y^2) + (-260y – 120y + 144y) + (169 + 156 – 144) = 0$
$136y^2 + (-380y + 144y) + (325 – 144) = 0$
$136y^2 – 236y + 181 = 0$

Langkah 4: Selesaikan Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat yang kita dapatkan adalah $136y^2 – 236y + 181 = 0$.
Untuk mencari akar-akarnya, kita gunakan diskriminan $D = b^2 – 4ac$.
Di sini, $a = 136$, $b = -236$, $c = 181$.

$D = (-236)^2 – 4 cdot 136 cdot 181$
$D = 55696 – 98224$
$D = -42528$

Karena diskriminan $D < 0$, maka persamaan kuadrat ini tidak memiliki solusi real untuk $y$. Ini berarti kedua lingkaran tidak berpotongan dan tidak bersinggungan. Mereka saling lepas atau salah satu berada di dalam yang lain tanpa bersentuhan.

Analisis Tambahan (untuk memastikan):
Mari kita cari pusat dan jari-jari kedua lingkaran:
Untuk $L_1: x^2 + y^2 – 2x + 4y – 4 = 0$
Pusat $C_1 = (-frac-22, -frac42) = (1, -2)$
Jari-jari $r_1 = sqrt(frac-22)^2 + (frac42)^2 – (-4) = sqrt1^2 + (-2)^2 + 4 = sqrt1 + 4 + 4 = sqrt9 = 3$

Untuk $L_2: x^2 + y^2 + 4x – 6y + 9 = 0$
Pusat $C_2 = (-frac42, -frac-62) = (-2, 3)$
Jari-jari $r_2 = sqrt(frac42)^2 + (frac-62)^2 – 9 = sqrt(-2)^2 + 3^2 – 9 = sqrt4 + 9 – 9 = sqrt4 = 2$

Jarak antara kedua pusat $C_1(1, -2)$ dan $C_2(-2, 3)$:
$d = sqrt(-2 – 1)^2 + (3 – (-2))^2 = sqrt(-3)^2 + (5)^2 = sqrt9 + 25 = sqrt34$
$sqrt34 approx 5.83$

Jumlah jari-jari: $r_1 + r_2 = 3 + 2 = 5$
Selisih mutlak jari-jari: $|r_1 – r_2| = |3 – 2| = 1$

Karena $d = sqrt34 approx 5.83$ dan $r_1 + r_2 = 5$, maka $d > r_1 + r_2$. Ini mengkonfirmasi bahwa kedua lingkaran saling lepas dan tidak memiliki titik persekutuan.

Contoh Soal 2: Menemukan Titik Irisan Lingkaran dalam Bentuk Standar

Tentukan titik-titik persekutuan dari lingkaran $L_1: (x-1)^2 + (y-2)^2 = 9$ dan lingkaran $L_2: (x-4)^2 + (y+2)^2 = 4$.

Pembahasan:

Langkah 1: Tuliskan Persamaan Kedua Lingkaran
Persamaan sudah diberikan dalam bentuk standar:
$L_1: (x-1)^2 + (y-2)^2 = 9$
$L_2: (x-4)^2 + (y+2)^2 = 4$

Langkah 2: Kurangi Persamaan untuk Mendapatkan Persamaan Garis Hubung
Untuk mengurangi persamaan dalam bentuk standar, kita perlu ekspansi dulu bentuk kuadratnya:
$L_1: x^2 – 2x + 1 + y^2 – 4y + 4 = 9 implies x^2 + y^2 – 2x – 4y – 4 = 0$
$L_2: x^2 – 8x + 16 + y^2 + 4y + 4 = 4 implies x^2 + y^2 – 8x + 4y + 16 = 0$

Sekarang kurangi $L_2$ dengan $L_1$:
$(x^2 + y^2 – 8x + 4y + 16) – (x^2 + y^2 – 2x – 4y – 4) = 0$
$x^2 + y^2 – 8x + 4y + 16 – x^2 – y^2 + 2x + 4y + 4 = 0$

Sederhanakan:
$(-8x + 2x) + (4y + 4y) + (16 + 4) = 0$
$-6x + 8y + 20 = 0$

Bagi seluruh persamaan dengan $-2$ untuk menyederhanakan:
$3x – 4y – 10 = 0$
Persamaan garis hubung adalah: $3x – 4y – 10 = 0$

Langkah 3: Substitusikan Persamaan Garis ke Salah Satu Lingkaran
Dari persamaan garis $3x – 4y – 10 = 0$, mari kita ekspresikan $y$ dalam bentuk $x$:
$4y = 3x – 10$
$y = frac3x – 104$

Substitusikan ekspresi $y$ ini ke dalam persamaan $L_1$ (bentuk standar lebih mudah):
$(x-1)^2 + (frac3x – 104 – 2)^2 = 9$

Sederhanakan bagian dalam kurung:
$frac3x – 104 – 2 = frac3x – 10 – 84 = frac3x – 184$

Jadi, persamaannya menjadi:
$(x-1)^2 + (frac3x – 184)^2 = 9$
$(x-1)^2 + frac(3x – 18)^216 = 9$

Kalikan seluruh persamaan dengan $16$ untuk menghilangkan penyebut:
$16(x-1)^2 + (3x – 18)^2 = 16 cdot 9$
$16(x^2 – 2x + 1) + (9x^2 – 108x + 324) = 144$
$16x^2 – 32x + 16 + 9x^2 – 108x + 324 = 144$

Kelompokkan suku-suku yang sejenis:
$(16x^2 + 9x^2) + (-32x – 108x) + (16 + 324 – 144) = 0$
$25x^2 – 140x + (340 – 144) = 0$
$25x^2 – 140x + 196 = 0$

Langkah 4: Selesaikan Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat yang kita dapatkan adalah $25x^2 – 140x + 196 = 0$.
Kita bisa coba faktorkan atau gunakan rumus kuadrat. Perhatikan bahwa $25 = 5^2$ dan $196 = 14^2$, dan $140 = 2 cdot 5 cdot 14$. Ini adalah bentuk kuadrat sempurna.
$(5x – 14)^2 = 0$

Langkah 5: Cari Nilai Variabel Lain
Dari $(5x – 14)^2 = 0$, kita dapatkan:
$5x – 14 = 0$
$5x = 14$
$x = frac145$

Karena kita hanya mendapatkan satu nilai $x$, ini mengindikasikan bahwa kedua lingkaran bersinggungan di satu titik.
Sekarang substitusikan nilai $x = frac145$ ke dalam persamaan garis $y = frac3x – 104$:
$y = frac3(frac145) – 104$
$y = fracfrac425 – 104$
$y = fracfrac42 – 5054$
$y = fracfrac-854$
$y = frac-85 cdot 4$
$y = frac-820$
$y = -frac25$

Langkah 6: Tuliskan Titik Irisan
Titik persekutuan kedua lingkaran adalah $(frac145, -frac25)$.

Analisis Tambahan (untuk memastikan):
Mari kita cari pusat dan jari-jari kedua lingkaran:
Untuk $L_1: (x-1)^2 + (y-2)^2 = 9$
Pusat $C_1 = (1, 2)$, Jari-jari $r_1 = 3$

Untuk $L_2: (x-4)^2 + (y+2)^2 = 4$
Pusat $C_2 = (4, -2)$, Jari-jari $r_2 = 2$

Jarak antara kedua pusat $C_1(1, 2)$ dan $C_2(4, -2)$:
$d = sqrt(4 – 1)^2 + (-2 – 2)^2 = sqrt3^2 + (-4)^2 = sqrt9 + 16 = sqrt25 = 5$

Jumlah jari-jari: $r_1 + r_2 = 3 + 2 = 5$
Selisih mutlak jari-jari: $|r_1 – r_2| = |3 – 2| = 1$

Karena $d = r_1 + r_2 = 5$, ini mengkonfirmasi bahwa kedua lingkaran bersinggungan luar di satu titik.

Contoh Soal 3: Menemukan Titik Irisan dengan Dua Solusi

Tentukan titik-titik persekutuan dari lingkaran $L_1: x^2 + y^2 = 4$ dan lingkaran $L_2: (x-2)^2 + y^2 = 4$.

Pembahasan:

Langkah 1: Tuliskan Persamaan Kedua Lingkaran
$L_1: x^2 + y^2 = 4$
$L_2: (x-2)^2 + y^2 = 4$

Langkah 2: Kurangi Persamaan untuk Mendapatkan Persamaan Garis Hubung
Ekspansi $L_2$: $x^2 – 4x + 4 + y^2 = 4 implies x^2 + y^2 – 4x + 4 = 4$

Kurangi $L_2$ dengan $L_1$:
$(x^2 + y^2 – 4x + 4) – (x^2 + y^2) = 4 – 4$
$x^2 + y^2 – 4x + 4 – x^2 – y^2 = 0$
$-4x + 4 = 0$

Persamaan garis hubung adalah: $-4x + 4 = 0 implies x = 1$.

Langkah 3: Substitusikan Persamaan Garis ke Salah Satu Lingkaran
Kita sudah mendapatkan nilai $x = 1$. Substitusikan nilai ini ke dalam persamaan $L_1$:
$x^2 + y^2 = 4$
$(1)^2 + y^2 = 4$
$1 + y^2 = 4$
$y^2 = 3$
$y = pm sqrt3$

Langkah 4: Selesaikan Persamaan Kuadrat
Nilai-nilai $y$ sudah kita peroleh: $y_1 = sqrt3$ dan $y_2 = -sqrt3$.

Langkah 5: Cari Nilai Variabel Lain
Nilai $x$ sudah tetap yaitu $1$.

Langkah 6: Tuliskan Titik Irisan
Titik-titik persekutuan kedua lingkaran adalah $(1, sqrt3)$ dan $(1, -sqrt3)$.

Analisis Tambahan (untuk memastikan):
$L_1$: Pusat $(0,0)$, jari-jari $r_1=2$.
$L_2$: Pusat $(2,0)$, jari-jari $r_2=2$.
Jarak antar pusat $d = sqrt(2-0)^2 + (0-0)^2 = sqrt2^2 = 2$.
Jumlah jari-jari $r_1+r_2 = 2+2 = 4$.
Selisih mutlak jari-jari $|r_1-r_2| = |2-2| = 0$.
Karena $|r_1-r_2| < d < r_1+r_2$ ($0 < 2 < 4$), maka kedua lingkaran berpotongan di dua titik.

Kesimpulan

Memahami irisan dua lingkaran berarti menguasai penyelesaian sistem persamaan non-linear. Kunci utamanya adalah mereduksi sistem persamaan lingkaran menjadi persamaan linear (garis hubung), lalu mensubstitusikan persamaan linear tersebut ke salah satu persamaan lingkaran. Proses ini akan menghasilkan persamaan kuadrat yang nilai diskriminannya akan menentukan jumlah titik persekutuan. Dengan latihan soal yang bervariasi, siswa kelas 2 SMA dapat membangun pemahaman yang kokoh tentang konsep ini dan mampu menyelesaikan berbagai variasi soal irisan dua lingkaran dengan percaya diri. Ingatlah untuk selalu memeriksa kembali perhitungan dan menganalisis hasil diskriminan serta hubungan antara jarak pusat dan jari-jari untuk memastikan kebenaran jawaban.