Memahami Dunia Irisan: Contoh Soal dan Pembahasan Mendalam untuk Siswa SMA Kelas 2

Irisan, atau dalam istilah matematika dikenal sebagai irisan kerucut (conic sections), adalah topik yang menarik dan fundamental dalam geometri analitik. Konsep ini muncul ketika sebuah bidang memotong sebuah kerucut rangkap dua. Hasil potongan tersebut dapat berupa lingkaran, elips, parabola, atau hiperbola. Memahami sifat-sifat dan persamaan dari masing-masing irisan ini sangat penting, tidak hanya untuk penyelesaian soal-soal ujian, tetapi juga untuk mengaplikasikannya dalam berbagai bidang sains dan teknologi.

Artikel ini akan membahas secara mendalam beberapa contoh soal irisan yang umum ditemui di tingkat SMA kelas 2, lengkap dengan pembahasan langkah demi langkah. Tujuannya adalah agar siswa dapat memahami logika di balik setiap penyelesaian dan mampu mengaplikasikan konsep-konsep tersebut pada soal-soal yang bervariasi.

Mengingat Kembali Jenis-Jenis Irisan Kerucut

Sebelum kita masuk ke contoh soal, mari kita ingat kembali keempat jenis irisan kerucut beserta persamaan umumnya:

1. Lingkaran: Himpunan titik-titik yang berjarak sama dari satu titik pusat.

   • Persamaan Standar: $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$
   • Pusat: $(h, k)$
   • Jari-jari: $r$

2. Elips: Himpunan titik-titik yang jumlah jaraknya dari dua titik fokus tetap konstan.

   • Persamaan Standar (horizontal): $frac(x-h)^2a^2 + frac(y-k)^2b^2 = 1$ (dengan $a > b$)
   • Persamaan Standar (vertikal): $frac(x-h)^2b^2 + frac(y-k)^2a^2 = 1$ (dengan $a > b$)
   • Pusat: $(h, k)$
   • Sumbu Mayor: $2a$
   • Sumbu Minor: $2b$
   • Hubungan $a, b, c$: $c^2 = a^2 – b^2$ (di mana $c$ adalah jarak dari pusat ke fokus)

3. Parabola: Himpunan titik-titik yang berjarak sama dari satu titik (fokus) dan satu garis (direktris).

   • Persamaan Standar (terbuka ke kanan): $(y-k)^2 = 4p(x-h)$
   • Persamaan Standar (terbuka ke kiri): $(y-k)^2 = -4p(x-h)$
   • Persamaan Standar (terbuka ke atas): $(x-h)^2 = 4p(y-k)$
   • Persamaan Standar (terbuka ke bawah): $(x-h)^2 = -4p(y-k)$
   • Puncak: $(h, k)$
   • $p$ adalah jarak dari puncak ke fokus dan dari puncak ke direktris.

4. Hiperbola: Himpunan titik-titik yang selisih jaraknya dari dua titik fokus tetap konstan.

   • Persamaan Standar (horizontal): $frac(x-h)^2a^2 – frac(y-k)^2b^2 = 1$
   • Persamaan Standar (vertikal): $frac(y-k)^2a^2 – frac(x-h)^2b^2 = 1$
   • Pusat: $(h, k)$
   • Hubungan $a, b, c$: $c^2 = a^2 + b^2$ (di mana $c$ adalah jarak dari pusat ke fokus)

Contoh Soal dan Pembahasan Mendalam

Mari kita mulai dengan contoh soal yang akan membantu kita menguji pemahaman.

>

Contoh Soal 1: Menentukan Jenis Irisan dari Persamaan Umum

Soal: Tentukan jenis irisan kerucut dari persamaan $3x^2 + 3y^2 – 12x + 6y – 9 = 0$.

Pembahasan:

Langkah pertama dalam mengidentifikasi jenis irisan kerucut dari persamaan umum $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ adalah dengan melihat koefisien dari suku $x^2$ dan $y^2$.

Dalam persamaan ini, kita memiliki:

• $A = 3$ (koefisien $x^2$)
• $B = 0$ (tidak ada suku $xy$)
• $C = 3$ (koefisien $y^2$)

Kita perhatikan hubungan antara $A$ dan $C$:

• Jika $A = C$ dan $B = 0$, maka irisan tersebut adalah lingkaran.
• Jika $A neq C$, $A$ dan $C$ memiliki tanda yang sama, dan $B = 0$, maka irisan tersebut adalah elips.
• Jika salah satu dari $A$ atau $C$ adalah nol, dan $B = 0$, maka irisan tersebut adalah parabola.
• Jika $A$ dan $C$ memiliki tanda yang berlawanan, dan $B = 0$, maka irisan tersebut adalah hiperbola.

Pada soal ini, $A = 3$ dan $C = 3$. Karena $A = C$ dan $B = 0$, maka persamaan tersebut merepresentasikan sebuah lingkaran.

Untuk memastikan, kita bisa mencoba mengubah persamaan ini ke bentuk standar lingkaran dengan melengkapkan kuadrat:
$3x^2 + 3y^2 – 12x + 6y – 9 = 0$
Bagi seluruh persamaan dengan 3:
$x^2 + y^2 – 4x + 2y – 3 = 0$
Kelompokkan suku-suku $x$ dan $y$:
$(x^2 – 4x) + (y^2 + 2y) = 3$
Lengkapkan kuadrat untuk suku $x$: Tambahkan $(frac-42)^2 = (-2)^2 = 4$ pada kedua sisi.
Lengkapkan kuadrat untuk suku $y$: Tambahkan $(frac22)^2 = (1)^2 = 1$ pada kedua sisi.
$(x^2 – 4x + 4) + (y^2 + 2y + 1) = 3 + 4 + 1$
$(x – 2)^2 + (y + 1)^2 = 8$

Ini adalah bentuk standar persamaan lingkaran dengan pusat $(h, k) = (2, -1)$ dan jari-jari $r = sqrt8 = 2sqrt2$.

Kesimpulan: Persamaan $3x^2 + 3y^2 – 12x + 6y – 9 = 0$ adalah persamaan sebuah lingkaran.

>

Contoh Soal 2: Menemukan Elemen-elemen Elips

Soal: Tentukan pusat, fokus, puncak, dan panjang sumbu mayor serta sumbu minor dari elips dengan persamaan $frac(x-1)^225 + frac(y-3)^29 = 1$.

Pembahasan:

Persamaan elips yang diberikan sudah dalam bentuk standar: $frac(x-h)^2a^2 + frac(y-k)^2b^2 = 1$ atau $frac(x-h)^2b^2 + frac(y-k)^2a^2 = 1$, di mana $a > b$.

Dari persamaan $frac(x-1)^225 + frac(y-3)^29 = 1$:

• Pusat elips $(h, k)$ adalah $(1, 3)$.
• Kita memiliki $a^2 = 25$ dan $b^2 = 9$. Ini berarti $a = 5$ dan $b = 3$.
• Karena $a^2$ berada di bawah suku $(x-1)^2$, maka sumbu mayor elips ini adalah horizontal.

Menghitung Jarak Fokus ($c$):
Hubungan antara $a, b,$ dan $c$ untuk elips adalah $c^2 = a^2 – b^2$.
$c^2 = 25 – 9 = 16$
$c = sqrt16 = 4$.

Menentukan Elemen-elemen Elips:

1. Pusat: $(h, k) = (1, 3)$.

2. Puncak (Vertices): Karena sumbu mayor horizontal, puncak berada di $(h pm a, k)$.

   • Puncak 1: $(1 + 5, 3) = (6, 3)$
   • Puncak 2: $(1 – 5, 3) = (-4, 3)$

3. Fokus (Foci): Karena sumbu mayor horizontal, fokus berada di $(h pm c, k)$.

   • Fokus 1: $(1 + 4, 3) = (5, 3)$
   • Fokus 2: $(1 – 4, 3) = (-3, 3)$

4. Panjang Sumbu Mayor: $2a = 2 times 5 = 10$.

5. Panjang Sumbu Minor: $2b = 2 times 3 = 6$.

Kesimpulan:

• Pusat: $(1, 3)$
• Fokus: $(5, 3)$ dan $(-3, 3)$
• Puncak: $(6, 3)$ dan $(-4, 3)$
• Panjang Sumbu Mayor: 10
• Panjang Sumbu Minor: 6

>

Contoh Soal 3: Menemukan Persamaan Parabola dari Informasi Geometris

Soal: Tentukan persamaan parabola yang memiliki puncak di $(2, -1)$ dan fokus di $(2, 1)$.

Pembahasan:

Pertama, kita identifikasi posisi puncak dan fokus.

• Puncak $(h, k) = (2, -1)$.
• Fokus $= (2, 1)$.

Perhatikan bahwa koordinat $x$ dari puncak dan fokus sama, yaitu $x=2$. Ini menandakan bahwa sumbu simetri parabola adalah garis vertikal ($x=2$). Oleh karena itu, parabola ini terbuka ke atas atau ke bawah.

Jarak dari puncak ke fokus adalah $p$.
$p = sqrt(2-2)^2 + (1 – (-1))^2 = sqrt0^2 + (1+1)^2 = sqrt2^2 = 2$.

Karena fokus $(2, 1)$ berada di atas puncak $(2, -1)$, parabola ini terbuka ke atas.
Persamaan standar parabola yang terbuka ke atas dengan puncak $(h, k)$ adalah:
$(x-h)^2 = 4p(y-k)$

Substitusikan nilai $h=2$, $k=-1$, dan $p=2$:
$(x-2)^2 = 4(2)(y – (-1))$
$(x-2)^2 = 8(y+1)$

Untuk mendapatkan bentuk yang lebih umum, kita bisa jabarkan:
$x^2 – 4x + 4 = 8y + 8$
$x^2 – 4x – 8y + 4 – 8 = 0$
$x^2 – 4x – 8y – 4 = 0$

Kesimpulan: Persamaan parabola yang dimaksud adalah $(x-2)^2 = 8(y+1)$ atau $x^2 – 4x – 8y – 4 = 0$.

>

Contoh Soal 4: Menemukan Elemen-elemen Hiperbola

Soal: Tentukan pusat, fokus, puncak, dan persamaan asimtot dari hiperbola dengan persamaan $frac(x+2)^216 – frac(y-1)^29 = 1$.

Pembahasan:

Persamaan hiperbola diberikan dalam bentuk standar: $frac(x-h)^2a^2 – frac(y-k)^2b^2 = 1$ (horizontal) atau $frac(y-k)^2a^2 – frac(x-h)^2b^2 = 1$ (vertikal).

Dari persamaan $frac(x+2)^216 – frac(y-1)^29 = 1$:

• Pusat hiperbola $(h, k)$ adalah $(-2, 1)$.
• Kita memiliki $a^2 = 16$ dan $b^2 = 9$. Ini berarti $a = 4$ dan $b = 3$.
• Karena suku $(x+2)^2$ positif, maka sumbu transversalnya (sumbu yang memuat puncak dan fokus) adalah horizontal.

Menghitung Jarak Fokus ($c$):
Hubungan antara $a, b,$ dan $c$ untuk hiperbola adalah $c^2 = a^2 + b^2$.
$c^2 = 16 + 9 = 25$
$c = sqrt25 = 5$.

Menentukan Elemen-elemen Hiperbola:

1. Pusat: $(h, k) = (-2, 1)$.

2. Puncak (Vertices): Karena sumbu transversal horizontal, puncak berada di $(h pm a, k)$.

   • Puncak 1: $(-2 + 4, 1) = (2, 1)$
   • Puncak 2: $(-2 – 4, 1) = (-6, 1)$

3. Fokus (Foci): Karena sumbu transversal horizontal, fokus berada di $(h pm c, k)$.

   • Fokus 1: $(-2 + 5, 1) = (3, 1)$
   • Fokus 2: $(-2 – 5, 1) = (-7, 1)$

4. Persamaan Asimtot: Asimtot adalah garis yang didekati oleh hiperbola saat menjauh dari pusat. Persamaan asimtot untuk hiperbola berbentuk $frac(x-h)^2a^2 – frac(y-k)^2b^2 = 1$ adalah:
   $y – k = pm fracba(x-h)$
   Substitusikan nilai $h=-2$, $k=1$, $a=4$, dan $b=3$:
   $y – 1 = pm frac34(x – (-2))$
   $y – 1 = pm frac34(x + 2)$

   Dua persamaan asimtotnya adalah:

   • Asimtot 1: $y – 1 = frac34(x + 2)$
     $4(y – 1) = 3(x + 2)$
     $4y – 4 = 3x + 6$
     $3x – 4y + 10 = 0$
   • Asimtot 2: $y – 1 = -frac34(x + 2)$
     $4(y – 1) = -3(x + 2)$
     $4y – 4 = -3x – 6$
     $3x + 4y + 2 = 0$

Kesimpulan:

• Pusat: $(-2, 1)$
• Fokus: $(3, 1)$ dan $(-7, 1)$
• Puncak: $(2, 1)$ dan $(-6, 1)$
• Persamaan Asimtot: $3x – 4y + 10 = 0$ dan $3x + 4y + 2 = 0$.

>

Contoh Soal 5: Soal Kombinasi (Menemukan Persamaan Elips dari Titik dan Fokus)

Soal: Tentukan persamaan elips yang berpusat di $(0,0)$, salah satu fokusnya adalah $(0, 3)$, dan salah satu puncaknya adalah $(0, 5)$.

Pembahasan:

Dari informasi yang diberikan:

• Pusat $(h, k) = (0, 0)$.
• Salah satu fokusnya $(0, 3)$.
• Salah satu puncaknya $(0, 5)$.

Karena koordinat $x$ dari pusat, fokus, dan puncak semuanya adalah 0, ini berarti sumbu mayor elips adalah vertikal (sepanjang sumbu y).

• Jarak dari pusat ke fokus adalah $c$. Dari $(0,0)$ ke $(0,3)$, maka $c = 3$.
• Jarak dari pusat ke puncak adalah $a$. Dari $(0,0)$ ke $(0,5)$, maka $a = 5$.

Kita perlu mencari nilai $b^2$ menggunakan hubungan $c^2 = a^2 – b^2$ untuk elips.
$3^2 = 5^2 – b^2$
$9 = 25 – b^2$
$b^2 = 25 – 9 = 16$
$b = 4$.

Karena sumbu mayor vertikal dan berpusat di $(0,0)$, persamaan standar elips adalah:
$fracx^2b^2 + fracy^2a^2 = 1$

Substitusikan nilai $a^2 = 25$ dan $b^2 = 16$:
$fracx^216 + fracy^225 = 1$

Kesimpulan: Persamaan elips yang dimaksud adalah $fracx^216 + fracy^225 = 1$.

>

Penutup

Memahami konsep irisan kerucut memerlukan latihan yang konsisten dan pemahaman yang kuat tentang persamaan standar serta hubungan antar elemen-elemennya (pusat, fokus, puncak, sumbu, dll.). Dengan memahami logika di balik setiap langkah penyelesaian pada contoh soal di atas, diharapkan siswa dapat membangun fondasi yang kokoh untuk menghadapi berbagai variasi soal irisan. Ingatlah untuk selalu mengidentifikasi jenis irisan terlebih dahulu, kemudian menentukan elemen-elemen kunci seperti pusat dan nilai $a, b, c$, sebelum akhirnya membangun persamaan atau menemukan elemen-elemen lainnya. Selamat belajar dan berlatih!